Funkcja kwadratowa to funkcja, której wartość zmienia się proporcjonalnie do drugiej potęgi niezależnie od zmiennej.
Funkcja kwadratowa na zbiorze liczb rzeczywistych to każda funkcja , określona wzorem:
f: y=ax2 +bx+c
gdzie a, b, c∈R ∧ a ≠ 0. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych Dy = R.
Wykresem funkcji kwadratowej jest krzywa nazywana parabolą. Ważnymi punktami paraboli są jej wierzchołek i punkty przecięcia paraboli z osiami współrzędnych i . Wykres jest symetryczny do osi paraboli, która jest równoległa do osi i przechodzi przez jej wierzchołek.
V – wierzchołek paraboli
X1, X2 – punkty przecięcia z osią x
Y – punkt przecięcia z osią x
Wpływ współczynników a, b, c na wykres funkcji kwadratowej.
Wpływ współczynnika a
Dla dodatniego współczynnika wykres funkcji kwadratowej jest wypukły („otwarty“ do góry), dla ujemnego współczynnika a wykres funkcji kwadratowej jest wklęsły („otwarty“ w dół). Wraz z rosnącą wartością absolutną współczynnika parabola jest bardziej zbliżona do swojej osi.
Wpływ współczynnika b
Współczynnikb związany jest ze współczynnikiem kierunkowym stycznej do paraboli w jej punkcie przecięcia z osią y. Jeżeli popatrzymy na tę styczną jak na inną funkcję, np. g, to zapis tej funkcji będzie g: y = bx + c. Jeżeli współczynnik równa się zeru, to wierzchołek paraboli leży na osi y.
Wpływ współczynnika c
Wykres funkcji przecina oś y w punkcie z igrekową współrzędną równą współczynnikowi c.
Obliczenie punktów przecięcia wykresu funkcji kwadratowej y=ax2 +bx+c z osią x
Każdy punkt leżący na osi ma igrekową współrzędną równą zeru, po podstawieniu w zapisie funkcji kwadratowej otrzymamy równanie kwadratowe, którego rozwiązanie wskaże punkty przecięcia:
W specjalnych przypadkach można do ustalenia współrzędnych punktów przecięcia użyć rozkładu trójmianu kwadratowego na iloczyn czynników.
Obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli funkcji kwadratowej y=ax2 +bx+c
Współrzędne wierzchołka ogólnie łatwo znajdziemy za pomocą wzoru:
wzory te otrzymamy przez tzw. dopełnienie postaci funkcji do kwadratu oraz przez kilka modyfikacji algebraicznych. W wyniku dopełnienia do kwadratu konkretnej funkcji otrzymujemy konkretne współrzędne wierzchołka nawet bez znajomości wzorów. Do ustalenia współrzędnych wierzchołka można także wykorzystać punkty przecięcia paraboli z osią lub pierwszą pochodną funkcji.