Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, deren Funktionswert sich proportional zur zweiten Potenz der unabhängigen Variablen ändert.
Eine quadratische Funktion in der Menge der reellen Zahlen ist jede Funktion f, die durch folgende Vorschrift gegeben ist:
f: y=ax2 +bx+c
wobei a, b, c∈R ∧ a ≠ 0. Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen Dy = R.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Kurve, die als Parabel bezeichnet wird. Wichtige Punkte der Parabel sind ihr Scheitel V und die Schnittpunkte der Parabel mit den Koordinatenachsen x und y. Der Graph ist symmetrisch zur Parabelachse, die parallel zur y-Achse und durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft.
V – Scheitelpunkt der Parabel
X1, X2 – Schnittpunkte mit der x-Achse x
Y – Schnittpunkt mit der y-Achse x
Einfluss der Koeffizienten a, b, c auf den Graphen der quadratischen Funktion.
Einfluss des Koeffizienten a
Für einen positiven Koeffizienten a ist der Graph der quadratischen Funktion konvex (nach oben „geöffnet“), für einen negativen Koeffizienten a ist der Graph der quadratischen Funktion konkav (nach unten „geöffnet“). Mit zunehmendem absolutem Wert des Koeffizienten a ist die Parabel mehr an ihre Achse „geschmiegt“.
Einfluss des Koeffizienten b
Der Koeffizient b hängt mit der Tangentensteigung zur Parabel in ihrem Schnittpunkt mit der y-Achse zusammen. Betrachten wir diese Tangente als eine andere Funktion, z. B. g, dann lautet die Vorschrift dieser Funktion g: y = bx + c. Ist der Koeffizient b gleich Null, dann liegt der Scheitel der Parabel auf der y-Achse.
Einfluss des Koeffizienten c
Der Funktionsgraph schneidet die y-Achse in dem Punkt mit der y-Koordinate gleich dem Koeffizienten c.
Berechnung der Schnittpunkte des Graphen der quadratischen Funktion y=ax2 +bx+c der x-Achse
Die x-Koordinate jedes Punktes, der auf der x-Achse liegt, ist gleich Null, nach dem Einsetzen von y = 0 erhalten wir in der Vorschrift der quadratischen Funktion eine quadratische Gleichung, durch deren Lösung wir die geforderten Schnittpunkte erhalten:
In Sonderfällen kann die Zerlegung des quadratischen Trinoms in das Produkt der Wurzelfaktoren zur Bestimmung der Koordinaten der Schnittpunkte genutzt werden.
Berechnung der Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel der quadratischen Funktion y=ax2 +bx+c
Allgemein erhalten wir die Koordinaten des Scheitelpunkts einfach mit Hilfe der Formel:
Diese Formeln erhalten wir durch die sog. quadratische Ergänzung der Funktionsvorschrift und mehrere algebraische Umformungen. Durch die quadratische Ergänzung einer konkreten gegebenen Funktion erhalten wir die konkreten Koordinaten des Scheitelpunkts auch ohne Kenntnis der Formeln. Zur Ermittlung der Koordinaten des Scheitelpunkts können auch die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse oder die erste Ableitung der Funktion genutzt werden.